排版测试：「4 个月翻一倍」到底是多快

这篇短笔记同时充当本站的排版测试（KaTeX 公式在构建期渲染成静态 HTML，零客户端 JS），素材取自《AI还在高速发展吗？》里那些大数字背后的算术。

一个每 $T$ 个月翻一倍的量， $t$ 个月后会变成原来的 $2^{t/T}$ 倍。所以「能力约 4 个月翻一倍」复利下来就是

2^{12/4} = 2^3 = 8\times \text{（每年）。}

倍增时间和年增长倍数 $k$ 之间的换算是

T = \frac{12 \ln 2}{\ln k}，

于是「价格一年降 200 倍」对应的「减半时间」是 $12\ln 2/\ln 200 \approx 1.57$ 个月——大约每 7 周价格砍一半。

真美元符号也得能安全通过公式管线：$10/百万 token 应该渲染成普通文本，而不是公式。